Özet:
Koordinat dönüşümü probleminde iki sistem arasındaki matematiksel ilişki, dönüşüm
parametreleri ile tanımlanır. Bu parametrelerin belirlenmesi için izlenen klasik yaklaşım
(ağırlıklı) en küçük kareler (EKK) dengelemesidir. Eğer başlangıç ve hedef sistem koordinatlarının her ikisi de rasgele hatalar ile yüklü ise, başlangıç sistemi hatalarının göz ardı
edilmesi, bazı özel durumlar dışında, yanıltıcı sonuçlar elde edilmesine neden olur. Bu
sebeple dönüşüm probleminin çözümü, tüm koordinat hatalarının dikkate alındığı simetrik
koordinat dönüşümü altında ele alınmalıdır. Simetrik koordinat dönüşümünün çözümü
toplam EKK yöntemi olarak adlandırılır. Bu yöntem, doğrusal olmayan bir denklem
sisteminin iteratif çözümünü gerektirmektedir. Dolayısıyla, dönüşüm parametrelerinin iyi
belirlenmiş yaklaşık değerlerine gereksinim duyulur. Dönüşüm parametrelerinin büyük
olması durumunda, dönüklük matrisinin Euler açıları ile parametrizasyonu, başlangıç
değeri belirleme problemi başta olmak üzere nümerik açıdan çeşitli zorluklara sebep olabilir. Bu nedenle, dönüklüklerin farklı bir şekilde ifade edildiği daha genel bir çözüme
ihtiyaç duyulur.
Bu çalışma kapsamında, üç boyutlu asimetrik ve simetrik koordinat dönüşümü problemlerinin kuaterniyon tabanlı EKK yöntemi ile çözümü ele alınmıştır. Dönüklüklerin
kuaterniyonlar ile gösteriminin klasik Euler açılarına göre avantajları ortaya konmuş ve
algoritmanın performansı oldukça geniş bir örneklemde test edilmiştir. Başlangıç sistemi koordinat hatalarının ihmal edilmesinin parametre kestirimine etkileri irdelenmiştir.
Ayrıca, her iki sistem koordinatlarının da farklı kaynaklardan gelmesi durumunda problem, varyans bileşenleri bilinmeyen simetrik koordinat dönüşümü altında ele alınmış ve
varyans bileşen kestirimi (VBK) algoritmasının başarısı irdelenmiştir.
Elde edilen sonuçlara göre, her iki sistem koordinatları da hatalı iken başlangıç sistemi
koordinat hatalarını ihmal etmek çözümlerin biaslı olmasına sebep olmaktadır. Bu bias,
başlangıç sistemi koordinatlarının doğruluğu hedef sistem koordinatlarına göre arttıkça
azalmaktadır. Başlangıç sistemi koordinatları hedef sistem koordinatlarından en az 10
kat daha doğru ise, asimetrik ve simetrik koordinat dönüşüm algoritmaları ile özdeş
parametre kestirimleri elde edilir. Benzer biçimde, başlangıç sistemi koordinatlarının
doğruluğu hedef sistem koordinatlarına göre arttıkça VBK’nin başarı oranı azalmaktadır.
Bu durumda (aslında her durumda), nokta sayısının artması VBK algoritmasının başarı
oranını arttırmaktadır.
